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Dinâmica do Rotor da Máquina Síncrona

Na análise de estabilidade eletromecânica, a equação básica de oscilação dos rotores das máquinas síncronas é desenvolvida considerando que o eixo turbina-gerador é composto por uma única massa concentrada, com uma inércia equivalente (\(H\)), dada pelo somatório das inércias das massas individuais que compõem o rotor da máquina síncrona.

Nota

Este modelo é adotado nos estudos de transitórios eletromecânicos para a análise de oscilações entre dos rotores de cada máquina síncrona em relação às demais máquinas de sistemas multi-máquina, permitindo observar o modo eletromecânico de oscilação, tipicamente entre de 0.1 e 3 Hz.

Em um gerador síncrono, o torque de aceleração (ou desaceleração) é dado pelo desequilíbrio entre os torques mecânico, eletromagnético e de amortecimento aplicados ao rotor:

\[T_a = T_m - T_e - T_D\]

Sendo:

\(T_a\) = Torque acelerante , [N.m]

\(T_m\) = Torque mecânico, [N.m]

\(T_e\) = Torque eletromagnético, [N.m]

\(T_D\) = Torque de amortecimento, [N.m]

A equação de oscilação dos rotores das máquinas síncronas é baseada no princípio elementar da dinâmica que relaciona o torque acelerante do rotor com o seu momento de inércia e aceleração angular. Esta equação é descrita na forma:

\[\begin{aligned} J\dfrac{d\omega_m}{dt} = J\dfrac{d\theta_m^2}{dt^2} = T_a = T_m - T_e - T_D &\text{ [N.m]} \label{Eq:swing_eq}\end{aligned}\]

Sendo:

\(J\)

Momento de inércia da massa total do rotor

\((kg.m^2)\)

\(\theta_m\)

Abertura angular entre o rotor e uma referência estacionária

\((rad_{mec})\)

\(\omega_m\)

Velocidade angular de rotação do rotor

\((rad_{mec}/s)\)

t

tempo

\((s)\)

\(T_m\)

Torque mecânico suprido pela turbina subtraído das perdas rotacionais

\((N.m)\)

\(T_e\)

Torque elétrico ou torque eletromagnético

\((N.m)\)

\(T_a\)

Torque acelerante

\((N.m)\)

O torque mecânico \(T_m\) e o torque elétrico \(T_e\) são considerados positivos para o gerador síncrono. Em regime permanente \(T_m\) e \(T_e\) são iguais e o torque acelerante \(T_a\) é nulo. Neste caso, não há aceleração ou desaceleração no rotor, e a sua velocidade de rotação será constante e igual a velocidade síncrona.

As massas rotativas, que incluem o rotor do gerador e a turbina, estão em sincronismo com as outras máquinas do sistema e giram na velocidade síncrona. A máquina motriz pode possuir turbina hidráulica ou a vapor, para as quais existem diferentes níveis de complexidade de modelos.

Uma vez que o ângulo do rotor (\(\theta_m\)) é medido em relação a uma referência estacionária (estator), ele varia continuamente com o tempo na velocidade síncrona. Entretanto, há interesse em avaliar a velocidade relativa do rotor em relação a uma referência síncrona, sendo mais conveniente analisar a posição angular do rotor em relação a um eixo de referência que gira na velocidade síncrona.

Define-se:

\[\begin{aligned} \theta_m = \omega_{s}t+\delta_m\end{aligned}\]

Sendo \(\omega_s\) a velocidade síncrona da máquina, em radianos mecânicos por segundo, e \(\delta_m\) a abertura angular do rotor, em radianos mecânicos, em relação a uma referência síncrona girante.

Derivando em relação ao tempo, obtemos a velocidade angular do rotor:

\[\begin{aligned} \label{eq:veloc} &\dfrac{d\theta_m}{dt} = \omega_s+\dfrac{d\delta_m}{dt}\end{aligned}\]

Derivando novamente, obtém-se a aceleração do rotor em \(\text{rad}_{mec}/s^2\).

\[\begin{aligned} \label{eq:acel} &\dfrac{d^2\theta_m}{dt^2} = \dfrac{d^2\delta_m}{dt^2}\end{aligned}\]

Nota

A velocidade angular do rotor (\(d\theta_m/dt\)) é constante e igual a velocidade síncrona apenas quando( \(d\delta_m/dt\)) for zero. Portanto, (\(d\delta_m/dt\)) representa o desvio da velocidade do rotor em relação com a velocidade síncrona, medido em \(\text{rad}_{mec}/s\).

A equação de oscilação pode ser normalizada em termos da constante de inércia (\(H\)), definida como a razão entre a energia cinética armazenada no rotor da máquina na velocidade síncrona (dada em \(W.s\)), e a capacidade nominal da máquina em [MVA] (\(S_n\)):

\[H = \dfrac{1}{2}\dfrac{J \omega_{0m}^2}{S_n} \label{Eq:Eqv_Inertia_H}\]

sendo \(\omega_{0m}\) a velocidade angular nominal em \(rad_{mec}/s\).

Descrevendo o momento de inércia \(J\) em termos de \(H\) na equação de oscilação da máquina síncrona, obtemos:

\[\dfrac{2H}{\omega_{om}^2}S_n \dfrac{d\omega_m}{dt} = T_m-T_e-T_D\]

A equação acima pode ser convenientemente rearranjada da seguinte forma:

\[2H\dfrac{d}{dt}\dfrac{\omega_m}{\omega_{0m}} = \dfrac{T_a-T_e-T_D}{{S_n}/{\omega_{0m}}}\]

Definindo o torque base como \(T_{base}=S_n/\omega_{0m}\), e descrevendo a velocidade do rotor em por unidade como:

\[\overline{\omega}_r = \dfrac{\omega_m}{\omega_{0m}} = \dfrac{\omega_r}{\omega_{0}}\]

A equação de oscilação em por unidade é descrita pela expressão abaixo:

\[\boxed{2H\dfrac{d\overline{\omega}_r}{dt} = \overline{T}_m - \overline{T}_e - \overline{T}_D} \label{Eq:swing_eq2}\]

sendo \(\omega_r\) a velocidade angular do rotor em \(rad_{ele}/s\).

Definindo o ângulo de carga do rotor \(\delta\) como a posição angular do rotor em \(rad_{ele}/s\) com relação a uma referência síncrona:

\[\delta = \omega_r t - \omega_0 t + \delta_0 \label{Eq:delta_mach}\]

sendo \(\delta_0\) o valor do ângulo de carga do rotor em \(t=0\). Derivando em relação ao tempo, temos:

\[\dfrac{d\delta}{dt} = \omega_r -\omega_0 = \Delta \omega_r \label{Eq:delta_3}\]

Derivando novamente, obtemos a aceleração angular do rotor:

\[\begin{aligned} \dfrac{d^2 \delta}{dt^2}&= \dfrac{d\omega_r}{dt} = \dfrac{d(\Delta\omega_r)}{dt} =\omega_0\dfrac{d\overline{\omega}_r}{dt} = \omega_0\dfrac{d(\Delta\overline{\omega}_r)}{dt} \label{Eq:delta2_pu}\end{aligned}\]

Escrevendo a equação de oscilação de máquina em termos da aceleração angular do rotor e expressando o torque de amortecimento \(T_D\) como uma parcela proporcional à variação de velocidade do rotor em relação à velocidade síncrona, temos:

\[{\dfrac{2H}{\omega_0}\dfrac{d\delta^2}{dt^2} = \overline{T}_m - \overline{T}_e - D \Delta\overline{\omega}_r} \label{Eq:swing_eq3}\]

sendo \(D\) o fator ou coeficiente de amortecimento em [pu de torque/pu de variação de velocidade].

O desvio de velocidade em pu é descrito como:

\[\Delta\overline{\omega}_r = \dfrac{\Delta \omega_r}{\omega_0} = \dfrac{1}{\omega_0}\dfrac{d\delta}{dt}\]

Portanto, a equação de oscilação pode ser reescrita como:

\[\dfrac{2H}{\omega_0}\dfrac{d\delta^2}{dt^2} = \overline{T}_m - \overline{T}_e - \dfrac{D}{\omega_0} \dfrac{d\delta}{dt} \label{Eq:swing_eq4}\]

A equação acima é referida como a equação de oscilação da máquina síncrona, uma vez que ela reflete a variação do ângulo \(\delta\) em uma condição de desequilíbrio entre ps torques aplicados ao rotor da máquina.

A representação de espaço de estados das equações de movimento rotacional da máquina são expressas como um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem, na seguinte forma:

\[\begin{split}\boxed{\begin{aligned} \dfrac{d\Delta\overline{\omega}_r}{dt} &= \dfrac{1}{2H}\left( \overline{T}_m-\overline{T}_e-D\Delta\overline{\omega}_r\right) \\[10pt] \dfrac{d\delta}{dt} &= \omega_0\Delta\overline{\omega}_r \end{aligned}}\end{split}\]

com \(t\) em segundos, \(\delta\) em radianos elétricos e \(\omega_0=2\pi f\).

A figura a seguir ilustra o diagrama de blocos da equação de oscilação da máquina síncrona:

Block diagram of the synchronous machine swing equations