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Obtenção de Parâmetros da Curva de Saturação para Entrada de Dados no Anatem

O Anatem dispõe de quatro modelos de curvas predefinidos, por meio dos quais é possível modelar o efeito da saturação através de parâmetros a serem fornecidos pelo usuário, via código DCST e, posteriormente, relacionando-a à máquina em questão.

A curva de saturação de uma máquina síncrona pode ser representada por meio de funções por partes ou funções polinomiais. No caso do Anatem, para a curva modelo tipo 2, é utilizada a representação do Paul Anderson 1, função por partes, onde a função de saturação é dividida em duas funções, sendo a primeira linear e a segunda exponencial. Prabha Kundur 2 apresenta outra formulação por partes, onde existe uma terceira parte exponencial.

Nota

O modelo tipo 2 é o normalmente utilizado para a representação da saturação nas máquinas síncronas.

A curva do modelo tipo 2 do Anatem presume a entrada de três parâmetros (A, B, C). Os seguintes valores para esses parâmetros são tipicamente encontrados para o modelo tipo 2:

\begin{align*} &A < 0,1\\ 5 < &B < 10\\ &C = 0,8 \end{align*}

Obtenção dos parâmetros a partir das curvas de tensão terminal graficamente pela diferença visual na tensão

Uma curva de saturação típica pode ser encontrada na figura abaixo:

../_images/exemplo_saturacao.png

Fig. 98 Exemplo de curva de saturação informada pelo fabricante

A parte exponencial do modelo tipo 2 da curva de saturação do Anatem pode ser definida pelas seguintes expressões:

(1)\[S\left(V_{sat}\right)=A\cdot e^{B\cdot\left(V_{sat}-C\right)}\]
(2)\[S\left(V_{sat}\right)=V_{gap}-\ V_{sat}\]

Sendo:

\(V_{gap}\)

Tensão na linha de entreferro

\(V_{sat}\)

Tensão no circuito aberto com saturação

O parâmetro C é utilizado para identificar o ponto de ruptura entre o modelo linear e o modelo exponencial. Normalmente, utiliza-se o valor de 0,8 para este parâmetro. Restam, portanto, dois parâmetros a serem definidos (A e B). Como a função exponencial é uma função monótona, dois pontos definem uma função exponencial que depende de dois parâmetros. Sendo assim, é preciso aquirir do gráfico da saturação da máquina dois pontos (sob a região exponencial).

Definimos as seguintes variáveis:

\(I_{f1}\)

Corrente necessária para se obter 1,0 pu de tensão na linha do entreferro

\(I_{f2}\)

Corrente necessária para se obter 1,0 pu de tensão no circuito aberto com saturação

\(I_{f3}\)

Corrente necessária para se obter 1,2 pu de tensão no circuito aberto com saturação

As correntes \(I_{f2}\) e \(I_{f3}\) podem estar definidas para quaisquer outros valores de tensão, mas usualmente esses são valores utilizados. A base dessas correntes é indiferente ao processo. Definindo essas correntes, calculamos S(1,0) e S(1,2) a partir dos valores das curvas no gráfico. A figura seguinte ilustra esse processo:

../_images/exemplo_saturacao_2.png

Fig. 99 Obtenção dos parâmetros para curva de saturação exponencial

Para as curvas utilizadas, as tensões na linha do entreferro para a corrente \(I_{f2}\) é de 1,125 pu, enquanto que para a corrente \(I_{f3}\) é de 1,89 pu. Tais informações foram obtidas diretamente do gráfico. Assim:

\begin{align*} S\left(1,0\right)=1,125-1,0=0,125\\ S\left(1,2\right)=1,890-1,2=0,690 \end{align*}

Sendo \(S_1\) e \(S_2\) dois pontos quaisquer da parte exponencial da curva, os parâmetros A e B podem ser encontrados a partir da relação desses dois pontos regidos pela equação (1):

(3)\[B=\frac{\ln{\left(\frac{S_1}{S_2}\right)}}{V_1-V_2}\]
(4)\[A=\frac{S_1}{e^{B\left(V_1-C\right)}}\]

Calcula-se, então:

\[ \begin{align}\begin{aligned}B=\frac{\ln{\left(\frac{0,125}{0,690}\right)}}{1,0-1,2}\approx8,542\\A=\frac{0,125}{e^{8,542\left(1,0-0,8\right)}}\approx0,023\end{aligned}\end{align} \]

No Anatem, esses parâmetros calculados seriam informados como no excerto abaixo:

Listagem 145 Excerto de DCST referente ao caso 1
1
2
3
4
5
DCST
(Nc)   T (  P1  ) (  P2  ) (  P3  )
(               A        B        C
01     2   0.023     8.542      0.8
999999

Obtenção dos parâmetros a partir das curvas de tensão terminal pelas correntes \(I_{fn}\)

Alternativamente, sabendo que a relação entre a tensão na linha do entreferro e a corrente de campo é linear, também seria possível estimar o valor da tensão no entreferro a partir do cálculo da inclinação da reta, pela corrente \(I_{f1}\). Supondo que as correntes \(I_{f1}=17,60\ A\), \(I_{f2}=19,70\ A\) e \(I_{f3}=32,92\ A\) são conhecidas e referentes às curvas da seção anterior, a equação (2) pode ser reescrita da seguinte maneira:

\[S\left(V_{sat}(I_{fd})\right)=V_{gap}-\ V_{sat}=\frac{I_{fd}}{I_{f1}}-\ V_{sat}(I_{fd})\]

Sendo \(V_{sat}\left(I_{fd}\right)\) a tensão obtida, para uma dada corrente de campo, pela curva de saturação em circuito aberto. Como as correntes \(I_{f2}\) e \(I_{f3}\) se referem às tensões de 1,0 e 1,2 pu, respectivamente, têm-se que:

\[ \begin{align}\begin{aligned}S\left(V_{sat}(I_{f2})\right)=\frac{19,70}{17,60}-1,0\approx0,120\\S\left(V_{sat}(I_{f3})\right)=\frac{32,92}{17,60}-1,2\approx0,670\end{aligned}\end{align} \]

As equações (3) e (4) fornecem então os seguintes valores para os parâmetros A e B:

\[ \begin{align}\begin{aligned}B=\frac{\ln{\left(\frac{0,120}{0,670}\right)}}{1,0-1,2}\approx8,60\\A=\frac{0,125}{e^{8,542\left(1,0-0,8\right)}}\approx0,021\end{aligned}\end{align} \]

No Anatem, esses parâmetros calculados seriam informados como no excerto abaixo:

Listagem 146 Excerto de DCST referente ao caso 2
1
2
3
4
5
DCST
(Nc)   T (  P1  ) (  P2  ) (  P3  )
(               A        B        C
02     2   0.021      8.60      0.8
999999

Observe que as diferenças entre os parâmetros encontrados nos caso 1 e caso 2 são decorrentes da imprecisão inerente à aquisição por inspeção de dados de um gráfico. Funções logarítmicas e exponenciais também são fonte de imprecisões em função da alta sensibilidade numérica decorrente de arredondamentos praticados.

Obtenção dos parâmetros a partir de dados tabelados

Outra possibilidade para a obtenção dos parâmetros da curva de saturação no Anatem reside na situação em que os dados da curva de saturação são dados na forma de tabela, como a informada a seguir:

Tabela 8 Tabela de diferentes valores da curva de saturação informadas pelo fabricante

Tensão Terminal

L.E.

C.S. VAZIO

Vt (kV)

Vt (pu)

Ifd (pu)

Ifd (A)

Ifd (pu)

Ifd (A)

0

0

0

0

0

0

11.5

0.5

0.30572

350.0249

0.30787

352.4865

13.8

0.6

0.36686

420.0254

0.37147

425.3034

16.1

0.7

0.428

490.0258

0.4379

501.3605

18.4

0.8

0.48915

560.0376

0.5104

584.3672

20.7

0.9

0.55029

630.038

0.59592

682.2807

23

1

0.61143

700.0384

0.7094

812.2062

25.3

1.1

0.67258

770.0503

0.8829

1010.85

27.6

1.2

0.73372

840.0507

1.1853

1357.074

29.9

1.3

0.79486

910.0511

1.7643

2019.982

32.2

1.4

0.85601

980.063

2.9372

3362.859

34.5

1.5

0.91715

1050.063

5.3851

6165.509

Os dados apresentados podem estar tanto em pu (em relação a alguma base) quanto em suas grandezas originais. Para a tensão, é importante que seja utilizado o valor da tensão em pu na base de tensão da máquina. Para a corrente, é indiferente se será utilizado em pu ou em Ampères. Assim, o procedimento de cálculo é semelhante ao realizado na seção anterior:

\[ \begin{align}\begin{aligned}S\left(V_{sat}(I_{f2})\right)=\frac{812,2062}{700,0384}-1,0=\frac{0,70940}{0,61143}-1,0\approx0,16\\S\left(V_{sat}(I_{f3})\right)=\frac{1357,0740}{700,0384}-1,2=\frac{1,18530}{0,61143}-1,2\approx0,74\end{aligned}\end{align} \]

Portanto:

\[ \begin{align}\begin{aligned}B=\frac{\ln{\left(\frac{0,16}{0,74}\right)}}{1,0-1,2}\approx7,66\\A=\frac{0,16}{e^{7,66\left(1,0-0,8\right)}}\approx0,035\end{aligned}\end{align} \]

Desta forma, no Anatem esses parâmetros calculados seriam informados como no excerto abaixo:

Listagem 147 Excerto de DCST referente ao caso 3
1
2
3
4
5
DCST
(Nc)   T (  P1  ) (  P2  ) (  P3  )
(               A        B        C
3     2   0.035      7.66      0.8
999999

1

Paul M Anderson and Aziz A Fouad. Power system control and stability. John Wiley & Sons, 2008.

2

Prabha Kundur, Neal J Balu, and Mark G Lauby. Power system stability and control. Volume 7. McGraw-hill New York, 1994.