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Equação de Oscilação da Máquina Síncrona

Na análise de estabilidade eletromecânica, a equação básica de oscilação dos rotores das máquinas síncronas é desenvolvida considerando que o eixo turbina-gerador é composto por uma única massa concentrada, com uma inércia equivalente (\(H\)), dada pelo somatório das inércias das massas individuais que compõem o rotor da máquina síncrona.

Nota

Este modelo é adotado nos estudos de transitórios eletromecânicos no Anatem para a análise de oscilações entre dos rotores de cada máquina síncrona em relação às demais máquinas de sistemas multi-máquina, permitindo observar o modo eletromecânico de oscilação, tipicamente entre de 0.1 e 3 Hz.

Diagrama de Blocos da Equação de Oscilação

A equação de oscilação da máquina síncrona reflete a variação do ângulo \(\delta\) em uma condição de desequilíbrio entre os torques aplicados ao rotor da máquina, conforme a seguir:

\[{\dfrac{2H}{\omega_0}\dfrac{d\delta^2}{dt^2} = {T}_m - {T}_e - D \Delta{\omega}_r}\]

Sendo:

\(H\)

Constante de inércia equivalente do rotor

\(\delta\)

Abertura angular entre o rotor e uma referência síncrona

\(\omega_0\)

Frequência nominal = \(\omega_0=2\pi f_0\)

t

tempo

\(T_m\)

Torque mecânico

\(T_e\)

Torque elétrico ou torque eletromagnético

\(D\)

Coeficiente de amortecimento

A representação de espaço de estados das equações de oscilação da máquina síncrona são expressas como um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem, na seguinte forma:

\[{\dfrac{d\Delta{\omega}_r}{dt} = \dfrac{1}{2H}\left( {T}_m-{T}_e-D\Delta{\omega}_r\right)}\]
\[{\dfrac{d\delta}{dt} = \omega_0\Delta{\omega}_r}\]

O diagrama de blocos da equação de oscilação da máquina é ilustrado na Fig. 96:

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Fig. 96 Diagrama de blocos da equação de oscilação da máquina síncrona

Equação de Oscilação do Anatem

Em função da faixa de frequência dos fenômenos de interesse na análise de estabilidade eletromecânica 1 (tipicamente em entre 0.1 e 3 Hz), algumas simplificações são adotadas na equação de oscilação da máquina síncrona, incluindo a consideração da frequência elétrica próximo ao seu valor nominal.

Importante

Dessa forma, os torques elétrico e mecânico são considerados aproximadamente iguais às potências elétrica e mecânica, e por isso o Anatem considera a seguinte equação na simulação tradicional de estabilidade eletromecânica:

\[\boxed{ {\dfrac{2H}{\omega_0}\dfrac{d\delta^2}{dt^2} = {P}_m - {P}_e - D \Delta{\omega}_r}}\]

Nota

Quando a opção CORFREQ é habilitada no DMDG é feita a correção das reatâncias da máquina síncrona e das potências elétrica e mecânica com variação da velocidade do rotor. Assim, os torques elétrico e mecânico são considerados na equação de oscilação da máquina, conforme a seguir:

\[{\dfrac{2H}{\omega_0}\dfrac{d\delta^2}{dt^2} = {T}_m - {T}_e - D \Delta{\omega}_r}\]

Opções de Execução que Modificam a Equação de Oscilação do Anatem

Ainda há possibilidade de utilizar as opções TMEC e/ou TELE em conjunto com o código EXSI, produzido os seguintes resultados:

  • A opção TELE usada com o Código EXSI, considera o torque elétrico na equação de oscilação da máquina síncrona quando a opção CORFREQ está habilitada no código DMDG. Ao habilitar a opção TELE, a potência elétrica será dividida pela frequência do rotor na equação swing, ou seja será considerado o torque elétrico. Por outro lado, a potência mecânica não será dividida pela frequência do rotor nessa mesma equação.

  • A opção TMEC usada com o Código EXSI, considera apenas o torque mecânico na equação de oscilação da máquina síncrona quando a opção CORFREQ está habilitada no código DMDG. Ao habilitar a opção TMEC, apenas o torque mecânico será considerado na equação swing, enquanto a potência elétrica não será dividida pela frequência do rotor nessa mesma equação.

Atenção

As opções TMEC e TELE não terão efeito nas equações de oscilação de máquinas síncronas que não apresentarem a opção CORFREQ habilitada no respectivo DMDG.

Nota

Ao habilitar ambas Opções TMEC e TELE junto ao EXSI, ambos os torques mecânico e elétrico serão considerados na equação de oscilação da máquina síncrona.

Tabela Resumo de Opções de Execução que Modificam a Equação de Oscilação

A tabela a seguir ilustra o comportamento da equação de oscilação para cada máquina síncrona, considerando as possíveis combinações de utilização das opções TMEC e TELE e do parâmetro CORFREQ:

Execução da Simulação

Opção CORFREQ está habilitada no DMDG?

SIM (*)

NÃO

EXSI sem opções adicionais

\(\small{\dfrac{2H}{\omega_s}\cdot\dfrac{d^2\delta}{dt^2}= T_{mec} - T_{ele} - D \Delta{\omega}_r}\)

\(\small{\dfrac{2H}{\omega_s}\cdot\dfrac{d^2\delta}{dt^2}= P_{mec} - P_{ele} - D \Delta{\omega}_r}\)

EXSI TMEC

\(\small{\dfrac{2H}{\omega_s}\cdot\dfrac{d^2\delta}{dt^2}= T_{mec} - P_{ele} - D \Delta{\omega}_r}\)

\(\small{\dfrac{2H}{\omega_s}\cdot\dfrac{d^2\delta}{dt^2}= P_{mec} - P_{ele} - D \Delta{\omega}_r}\)

EXSI TELE

\(\small{\dfrac{2H}{\omega_s}\cdot\dfrac{d^2\delta}{dt^2}= P_{mec} - T_{ele} - D \Delta{\omega}_r}\)

\(\small{\dfrac{2H}{\omega_s}\cdot\dfrac{d^2\delta}{dt^2}= P_{mec} - P_{ele} - D \Delta{\omega}_r}\)

EXSI TMEC TELE

\(\small{\dfrac{2H}{\omega_s}\cdot\dfrac{d^2\delta}{dt^2}= T_{mec} - T_{ele} - D \Delta{\omega}_r}\)

\(\small{\dfrac{2H}{\omega_s}\cdot\dfrac{d^2\delta}{dt^2}= P_{mec} - P_{ele} - D \Delta{\omega}_r}\)

Importante

(*) Quando a opção CORFREQ é habilitada no DMDG também é feita a correção das reatâncias da máquina síncrona com a variação da frequência elétrica

Ver também

Consulte a seção DMDG para mais informações sobre o uso da opção CORFREQ para alterar o comportamento da equação de oscilação do programa.

1

Prabha Kundur, Neal J Balu, and Mark G Lauby. Power system stability and control. Volume 7. McGraw-hill New York, 1994.